数理モデル

絵を描く行為は物忘れ防止やストレス解消になるという研究結果もありますので趣味としてオススメですよ。

いい例ですね。他にも、文章、ポエム、音楽、動画、漫画など色々な表現方法がありますね。

どの表現方法をとるかは、最終的に何を目的とするかによって違ってくると思います。

そして「ものごとの仕組みを理解し、役に立つ情報を得る」ことを目的とする場合、とても便利な表現方法があります。それが「数理モデル」です。

データを使って判断や予測をするためには数理モデルの考え方が基礎となります。統計学に限らず、問題解決にとても強力な武器となるので、ぜひ考え方を押さえておきましょう。

残念ながら職業とは関係ないです。日常で馴染みのあるものだとプラモデル（模型）の方がイメージに近いですね。

モデルとは、ものごとの仕組みを理解し、役に立つ情報を得るために、現実のものごとを単純化して表現したものです。ここでの表現手段は模型、図、絵など、なんでもOKです。

現実はそのままだと複雑すぎて取り扱いが難しいからです。重要な特徴（エッセンス）だけに注目し、それ以外はバッサリ捨てることで、よりよい理解を得ることができます。

例えば、地球儀。これは地球を単純化したモデルです。宇宙から本物の地球を眺めなくても、地球儀によって地球の形や地形の分布がどうなっているか理解できるでしょう。

現実のある対象のモデルをつくることを「モデル化」といいます。具体的な物体だけでなく、抽象的な概念など、あらゆるものがモデル化の対象になります。

前回、母集団と標本の関係を学びましたね。これはデータによる判断に潜む問題を整理した、概念のモデルといえます。

しかし、役に立つ情報を得るという点でまだ十分でありません。ズレがあるという問題はわかったが、具体的にどうやって判断を下せば良いのかが分からないからです。

数学は大昔から現実を記述し、目に見えない法則を導き出し、現実をよりよく理解することを可能にしてきました。その過程で、多くの表現手段を発明してきたのです。

モノを落とすと地面に落ちていきます。この現象の正体は物体同士が引き寄せ合う力であり、地球上のモノだけでなく宇宙の月や惑星などにも同様に働いていて、シンプルな数式で統一的に説明できることが示されました。

物体の運動の法則も簡単な数式で表され、万有引力と運動法則を組み合わせて、惑星の描く軌道が非常に正確に計算できるようになりました。

さらに、惑星の軌道を数理モデルで十分に理解できたので、驚くような予言までできてしまったのです。

当時ある惑星だけ計算軌道からかなりずれてしまうことから、まだ観測されていない惑星の存在を予言しました。その惑星の引力によって軌道がずれるんだろうと考えたのです。

数理モデルにすることで、多様な数学の道具箱を利用しながら、厳密な論理展開ができて、その結果は具体的な数字で現れてきます。数字は判断や予測で非常に役に立ちます。

また、数理モデルはコンピュータと相性がよく、様々な仮想実験（シミュレーション）ができます。

例えば、防災シミュレーション。現実では実験が難しいことも数理モデルを作ってしまえばできるようになるのです。

変数は注目する現実の対象が数値となって入る箱、パラメータは固定的な数字、関係式は変数やパラメータの関係性を記述する数式です。

万有引力の式だと、質量、距離、力などが変数で、万有引力定数がパラメータ、関係式は万有引力の数式になります。

映画監督になったつもりで、その世界の登場キャラクター（変数・パラメータ）と関係図（関係式）を定めるイメージで覚えてもよいでしょう。

関係式の部分ですが、着目するモノゴトが不確実性を持つかどうかで、表現に使う数学の道具が変わってきます。

例えばサイコロをふって何の目が出るかは誰もわからないので、不確実性を持ちます。このような場合、関係式の表現に「確率」という数学の道具を組み込みます。

今はわからなくて大丈夫です。統計学の数理モデルでは確率を使いますので、その理由や必要な知識を次回以降しっかり学んでいきます。

統計学では、「母集団から標本（データ）が得られる一連の仕組み」を数理モデルで表現します。

母集団と標本の間にある関係性を数理モデルで表現できれば、標本の情報から本当に知りたい母集団の情報を知ることができると考えるのです。

最後に数理モデルの一般的な注意点です。あくまで現実を単純化したものなので、様々な仮定から成り立っているということです。

このため、モデルは現実のデータで検証して、間違っていたら修正ということを繰り返す必要があります。

本日はここまでにして起きましょう。数学を使って世の中の現象を記述する数理モデルをご紹介しました。