分散・標準偏差

実は今回、モグラくんたちに協力してもらって、出現場所の違いで、異なるデータを表現してもらったんです。

そのとおりです。ばらつきが大きいデータは、その元となる現実にはドキドキ・ハラハラな側面があると言えるでしょう

オフロードバイクやジェットコースターのコースはアップダウンが激しい方が面白いですよね。

他にもスポーツなどの勝負ごとでは、ムラっ気はあるけど、たまにとんでもない結果をだすプレイヤーがいれば、一か八かの大勝負を仕掛けられます。

そうです。ドキドキ・ハラハラなんていらない、安定・安心を求める現実の場面ではばらつきは小さい方がいいんです。

ビジネスにおいては、計画を立てて安定した経営を行うために、データのばらつきは小さくしたいことが多いです。

例えば自動車メーカーからすると、大きさがバラバラなタイヤを作ってくる工場は困りますよね。

ビジネスの生産現場では、データのばらつき状況をしっかり管理して、コントロールすることが大事なんです。

バラツキを今より小さくするためには、データの元にある現実に何らかの手を打つ必要があります。例えば新規設備の導入、マニュアルの整備、作業員の研修などなど。

ばらつきの統計量の計算には、個々の観測値が平均とどれくらい違う値をとっているかという情報を使います。前回平均を学んだ際に、このことを何といったか覚えていますか？

偏差はそのままだとプラスとマイナスで打ち消しあって使いにくいので、プラスの値に変換したいと思います。どのようなやり方が考えられるでしょうか？

絶対値は、マイナスだったらプラスに、プラスの場合はそのまま、というように「符号による場合わけ」が必要ですが、これは数学的に扱いが難しいのです。

2乗では、元の数値がマイナスでもプラスでも、符号による場合分けは必要なく、ただ2回かけ算すればよいですね。

ばらつきの統計量のゴールは、データの観測値の平均的なばらつき具合を、1つの数値で表現したいことです。1つの数値にするために何か思いつきますか？

ここで注意が必要です。分析の目的によって平均をとる際の分母が変わるのです。（分子は偏差の2乗の合計で同じ）

結論からいうと、手元にあるデータだけで分析が完結する場合は、観測値の数「n」でわる、手元のデータを超えた範囲において判断や予測をする場合は、「n-1」でわるのです。

がるたろうくんの通う学校の先生が、必要な体操服のサイズを知るために、生徒の体長の分散を知りたい状況を例にとりましょう。

今在籍している生徒のみを考える場合、手元にある全生徒の体長データだけで分析が完結します。このような時は、観測値の個数nでわって問題ありません。

しかし、将来入学してくる生徒に関して予測や判断をしたい場合、つまりデータを超えた範囲で分析したい場合は、観測値の個数nから1を引いた数、n-1でわる方がよいのです。

なぜ、1をひくのかは、「データを使う」パートで詳しくご説明します。今は、目的によって分母が変わるということだけ頭にとどめておいてください。

いいところに気がつきましたね。分散は観測値の単位が2乗されていて、平均と単位が異なるので、平均からの離れ具合という直感的な理解ができません。

そこで、分散の単位を平均に合わせた「標準偏差」という数値を考えます。2乗する前の数値の世界に戻すのです。

数学では、足し算の逆は引き算、かけ算の逆はわり算、と言ったように、逆の演算手法が用意されています。2乗の逆となる演算は何がありましたでしょうか？

その通りです。分散の平方根が「標準偏差」です。
平方根をとることで単位が平均とそろいますので、平均からの標準的な離れ具合という意味に解釈ができます

プラスの値を標準偏差とします。平均からの距離というイメージを持ってもらえればよいでしょう。距離は常にプラスですね。

標準偏差は、観測値が平均からざっくりどれくらい離れるものなのかの解釈を与えてくれます。

平均と標準偏差を見るだけで、元の観測値全てを見なくても、データの違いが想像できます。

最後に、分散と標準偏差の使い分けについて触れておきましょう。

現実の解釈やコミュニケーションでは標準偏差が便利ですが、数学的な理論の展開や計算をしていくには分散の方が扱いやすいことがあります。

これから、文脈に応じて分散か標準偏差で表現を使い分けますが、データのばらつき具合を表す数値としては全く同じ情報で、意味は一緒です。混乱しないようにしましょう。